Tikimybių teorijos laboratorinis darbas: monetos, kauliuko ir urnos eksperimentai

Užduoties tipas: Referatas

Pridėta: šiandien time_at 14:02

Santrauka:

Išmokite tikimybių teorijos pagrindus per monetos, kauliuko ir urnos eksperimentus – supraskite skaičiavimus ir praktinius taikymus namų darbams.

Įvadas

Tikimybių teorija – tai matematikos šaka, apimanti atsitiktinių reiškinių modeliavimą bei jų tikimybių skaičiavimą. Jau nuo mokyklos laikų ji lietuvių mokiniams tampa neatskiriama matematikos dalimi, ypač ruošiantis valstybiniams egzaminams ar dalyvaujant Olimpinių ir kitų konkursų renginiuose, kurie Lietuvoje yra itin vertinami. Laboratorinis darbas, skirtas tikimybių teorijai, ne tik stiprina teorines žinias, bet ir leidžia konkretų matematinį modelį pritaikyti praktikoje. Taip ugdomas gebėjimas analizuoti realius procesus, pagrįstai priimti sprendimus, įvertinant atsitiktinumą bei riziką.

Šiame laboratoriniame darbe mano tikslas – išsamiai ištirti kelis klasikinius tikimybių teorijos modelius, remiantis konkrečiais eksperimentais: monetos metimu, kauliuko ridenimu, traukimu iš urnos bei kortelių pavyzdžiu. Sieksiu paaiškinti ne tik skaičiavimų eigą, bet ir giliau pažvelgti į modeliuojamų situacijų prasmę. Darbo uždaviniai: apibrėžti nagrinėjamus įvykius, apskaičiuoti jų tikimybes, išanalizuoti atsitiktinio dydžio pasiskirstymą ir jo charakteristikas, aptarti galimus praktinius taikymus Lietuvos švietimo ir gyvenimo kontekste.

Tikimybių teorijos supratimas ir gebėjimas ją taikyti yra labai svarbūs, nes ši sritis yra pamatas įvairių sričių – nuo fizikos ir informatikos iki ekonomikos bei sociologijos – tiriamiesiems ir praktiniams uždaviniams spręsti. Galvojant apie Lietuvos moksleivius ir studentus, verta prisiminti ne vien mokyklines užduotis, bet ir realias gyvenimiškas situacijas, kuriose reikia prognozuoti, numatyti riziką ar įvertinti galimą naudą.

Tikimybių teorijos pagrindai: sąvokos ir jų reikšmė

Tikimybė – tai skaitinė išraiška, parodanti, kaip tikėtina, jog tam tikras įvykis įvyks, lyginant norimą atvejį su visais galimais baigčių skaičiumi. Matematinė tikimybės formulė mokiniams pažįstama nuo progimnazijos laikų, kai skaičiuojama, kiek šansų traukti tam tikrą spalvos rutulį ar pataikyti kauliuku vieną ar kitą akučių skaičių.

Svarbiausios šios srities sąvokos – bandymas (t.y. konkretus veiksmas, pvz., monetos metimas), įvykis (pvz., iškrito herbas), iš visų galimų bandymo baigčių atskiriama viena ar kelios situacijos. Diskretūs atsitiktiniai dydžiai, tokie kaip iškritusių „skaičių“ monetos metant skaičius, leidžia apibūdinti reiškinius, kurių rezultatus galima suskaičiuoti (priešingai nei tęstinėms situacijoms).

Pagrindinė dalis

1. Nepriklausomų bandymų vaizdavimas ir tikimybės skaičiavimas (binominis modelis)

Eksperimentas: moneta ir kauliukas

Panagrinėkime paprastą, bet prasmingą pavyzdį – vienu metu metami moneta ir žaidimų kauliukas. Apibrėžiame įvykį A: monetoje iškrenta „skaičius“, o kauliuke – lyginis akučių skaičius. Matematiškai, naudojant sąjungos taisyklę, šie įvykiai yra nepriklausomi, nes vieno įvykio rezultatas neturi įtakos kitam. Tikimybė, kad metant monetą iškris „skaičius“ – 1/2, o kad kauliuke iškris lyginis skaičius (tai būtų 2, 4 arba 6) – 3/6, arba taip pat 1/2.

Kai bandymas kartojamas daugybę kartų, šis procesas aprašomas vadinamuoju binominiu modeliu. Tokiu atveju mūsų parametrus sudaro: n – bandymų skaičius, p – sėkmės (įvykio A) tikimybė. Pvz., jei n=50, o p=1/4 (nes abi tikimybės sudauginamos: 1/2 * 1/2), galime skaičiuoti, kokia galimybė sulaukti atitinkamo „sėkmių“ – įvykio A pasikartojimo – skaičiaus, tarkime, tarp 20 ir 30 kartų.

Tokio tipo uždavinius savo klasikiniame rinkinyje „Tikimybių teorijos pagrindai“ analizavo žinomas lietuvių matematikas Jonas Kubilius, pabrėždamas, kaip svarbu gebėti modeliuoti realias situacijas paprasta binomine schema.

Binominio pasiskirstymo taikymas

Pritaikę binominę formulę: P(k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k), kur C(n,k) – derinių skaičius, galime apskaičiuoti tikimybę, pavyzdžiui, kad per 50 bandymų įvykis A pasikartos lygiai 25 kartus. Lietuvoje studijuojantys matematikai dažnai praktikuojasi su tokiomis binominio paskirstymo užduotimis, naudodami, pavyzdžiui, „GeoGebra“, „WolframAlpha“ ar net skaičiuoklės programas, kurios universitete dėstomos programavimo kursuose.

Be skaitinių skaičiavimų, labai svarbu suvokti gautos tikimybės interpretaciją. Tarkime, jei binominė tikimybė, kad įvykis pasitaikys 20–30 kartų, išeina 0,8 – tai rodo labai didelę sėkmės galimybę. Praktikoje, organizuojant žaidimą, loteriją ar net imantis rizikingų ekonominių sprendimų (kaip tą darė ir Lietuvos smulkieji verslininkai 2008 metų krizės metu), tokie įvertinimai padeda apsaugoti nuo galimų nuostolių.

2. Tikimybių skaičiavimas urnos modelyje su skirtingų spalvų rutuliais

Eksperimento aprašymas

Tai – kitas klasikinės tikimybių teorijos scenarijus, kuris dažnai aptariamas Lietuvos matematikos konkursuose. Tarkime, turime urną su 100 baltų, 50 juodų ir 50 raudonų rutulių. Iš viso – 200. Įvykis: ištraukiame raudoną rutulį. Tikimybė p = 50/200 = 0,25. Jei po kiekvieno traukimo rutulys grąžinamas atgal, tada kiekvienas bandymas nepriklausomas.

Nepriklausomų bandymų seka

Atliekant 100 bandymų (rutuliai kiekvieną kartą grąžinami), norima sužinoti, kokia tikimybė, kad ištraukus 100 kartų raudonas rutulys bus ištrauktas tiksliai 25 kartus. Čia vėl tinka binominio pasiskirstymo taisyklės taikymas. Taigi: P(25) = C(100,25) * (0,25)^25 * (0,75)^75.

Tokios užduotys paplitusios valstybiniuose brandos egzaminuose (pavyzdžiui, 2021 metų matematikos egzamino 21 užduotis), kur reikia ne tik apskaičiuoti, bet ir paaiškinti, ką reiškia konkretus rezultatas.

Poveikis eksperimentinio tyrimo rezultatams

Maža ištraukimų tikimybė (pvz., jei vietoje 25 ištraukiama tik 10 kartų) rodo, kad galbūt bandymo eiga buvo sutrikdyta arba įvyko statistinis atsitiktinumas, kuris, kaip minėta daugybėje VU Matematikos ir informatikos fakulteto dėstytojo doc. V. Statulevičiaus paskaitų, visuomet turi būti vertinamas kaip neišvengiamas realybėje. Tokie skaičiavimai grūdina įgūdžius atpažinti, kada eksperimentiniai duomenys atitinka teorinius lūkesčius, o kada reikia ieškoti priežasčių neatitikimui (pvz., žmogiškos ar techninės klaidos).

3. Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo nustatymas ir charakteristikų analizė (kortelių pavyzdys)

Eksperimento apibrėžimas

Lietuvos mokyklų matematikos olimpiadose neretai tenka spręsti kortelių uždavinius. Įsivaizduokime, kad turime 10 sunumeruotų kortelių (1–10) ir 2 kartus traukiame po vieną kortelę su grąžinimu. Atsitiktinis dydis X – abiejų trauktų kortelių numerių suma. Galimos reikšmės yra visos nuo 2 (jei abu kartus ištraukta „1“) iki 20 (jei abu kartus „10“).

Pasiskirstymo funkcijos sudarymas

Kiekviena suma gali būti gauta keliais būdais: pavyzdžiui, skaičius 3 gali atsirasti traukiant (1,2) arba (2,1). Kadangi 10 galimybių pirmam traukimui, 10 – antram, visos kombinacijos sudaro 100 atvejų. Tikimybę kiekvienai X reikšmei nustatome suskaičiuodami, kiek porų duoda atitinkamą sumą – labai panašiai, kaip spręsdami uždavinius „Matematikos VBE tipinių uždavinių rinkinyje“ (pavyzdžiui, A. Kraujalienės leidinyje).

Sudarę lentelę, galime nubraižyti pasiskirstymo daugiakampį: horizontalioje ašyje žymime sumas, vertikalioje – atitinkamas tikimybes.

Statistinių charakteristikų apskaičiavimas

Vidurkis, šioje situacijoje gaunamas taikant matematinės vilties formulę. Apibendrinus visi tikimybių ir sumų sandaugas, gaunamas X̄ ≈ 11. Dispersija apskaičiuojama naudojant standartinę formulę, o kvadratinis nuokrypis – kaip kvadratinė šaknis iš dispersijos. Asimetrijos koeficientas parodo, ar pasiskirstymas linksta į kurią nors pusę (tai svarbu sprendžiant, ar rezultatai daugiau koncentruoti ar išsibarstę). Eksceso vertė lyginama su normaliu pasiskirstymu – jeigu mūsų pasiskirstymas smailesnis ar plokštesnis.

Patirtis rodo, kad atlikus tokį statistinį apibūdinimą, lengviau prognozuoti standartinius rezultatus, įvertinti ar mokinio ar studento atsakymai egzamine ar olimpiadoje atitinka tikimybinį modelį.

Praktiniai aspektai

Skaičiuojant šiuos rodiklius, mokiniams svarbu atidžiai peržiūrėti galimas skaičiavimo klaidas, ypač kai dirbama su didesnėmis kombinacijų lentelėmis. Rekomenduotina naudoti lenteles, o rezultatus patikrinti kitais būdais – tai puikiai iliustruoja, kaip svarbus yra gebėjimas taikyti įvairias strategijas sprendžiant kasdienes ar mokslo užduotis.

Išvados

Atlikti trys eksperimentai parodė, kaip teoriškai apskaičiuotos tikimybės pasitvirtina arba ne kiekybiškai atliekant laboratorinius bandymus. Tiek binominis modelis, tiek urnos ar kortelių analizės modeliai ne tik pamoko matematinių skaičiavimų, bet formuoja gebėjimą planuoti, prognozuoti ir vertinti riziką įvairiose situacijose – nuo žaidimų iki verslo ar mokslo tyrimų.

Tikimybių teorija mūsų kasdienybėje pasireiškia ten, kur susiduriame su atsitiktinumu: nuo oro prognozių, sporto rungtynių rezultatų iki investavimo ar net išmaniųjų technologijų veikimo. Svarbiausia – gebėjimas kritiškai mąstyti, t. y. analizuoti situaciją niekada nekartojant aklai formulių, bet gebant jas adaptuoti kintant aplinkybėms.

Tolimesnės studijos gali apimti sudėtingesnius modelius: dviejų ar daugiau įvykių priklausomybę, baigtinių ir nebaigtinių bandymų sekas. Analizuojant realias problemas, būtina iškelti hipotezes, jas pasitikrinti per praktinius skaičiavimus bei išmokti įvertinti paklaidos galimybę.

Priedai

Formulių pavyzdžiai: - Binominio pasiskirstymo formulė: P(k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) - Matematinė viltis: E(X) = Σ x_i * P(x_i)

Lentelė (dalinė): | X reikšmė | Kombinacijų skaičius | Tikimybė | |:---------:|:--------------------:|:--------:| | 2 | 1 | 0,01 | | 3 | 2 | 0,02 | | 4 | 3 | 0,03 | | ... | ... | ... |

Pasiskirstymo daugiakampio eskizas: Daugiakampis, kuriame matosi centrinė reikšmė (11), o kraštuose – mažesnės tikimybės. Tokio tipo grafikas padeda vizualiai įvertinti, kaip tikėtina gauti kraštutines ar vidutines reikšmes.

---

Naudota literatūra: 1. Kraujalienė A. „Matematikos VBE tipinių uždavinių rinkinys“. Vilnius: Šviesa, 2020. 2. Kubilius J. „Tikimybių teorijos pagrindai“. Vilnius, 1991. 3. Statulevičius V. „Tikimybės ir statistika“. VU MF leidinys, 2015.

Pavyzdiniai klausimai

Atsakymus parengė mūsų mokytojas

Kas yra tikimybių teorijos laboratorinis darbas monetos, kauliuko ir urnos eksperimentuose?

Tai praktinis matematikos uždavinys, padedantis taikyti tikimybių teorijos principus skaičiuojant įvykių tikimybes su moneta, kauliuku ar urna.

Kaip skaičiuoti tikimybę metant monetą ir kauliuką, kaip aprašyta tikimybių teorijos laboratoriniame darbe?

Reikia sudaiginti atskirų įvykių tikimybes: monetos tikimybė (1/2) ir kauliuko lyginio skaičiaus tikimybė (1/2), galutinis rezultatas – 1/4.

Ką reiškia binominis modelis tikimybių teorijos laboratoriniame darbe?

Binominis modelis aprašo kelis nepriklausomus bandymus, kai kiekvieno sėkmės tikimybė vienoda, pavyzdžiui, pakartotiniai bandymai metant monetą ir kauliuką.

Kaip apskaičiuoti tikimybę ištraukti raudoną rutulį urnos eksperimente?

Tikimybė lygi raudonų rutulių skaičiui per visų rutulių skaičių, šiuo atveju: 50 / 200 = 1/4.

Kodėl tikimybių teorijos laboratoriniai darbai svarbūs Lietuvos moksleiviams?

Jie padeda suprasti praktinį tikimybių pritaikymą realiose situacijose, ugdo analitinius gebėjimus ir padeda ruoštis egzaminams bei konkursams.

Parašyk už mane referatą

Tagi:#matematika #tikimybiuteorija #namudarbai