Paviršiaus plotas ir tūris — formulės ir kasdieniai pavyzdžiai

Šį darbą patikrino mūsų mokytojas: 16.01.2026 time_at 20:18

Užduoties tipas: Referatas

Pridėta: 16.01.2026 time_at 19:58

Santrauka:

Pamoka apie ploto, paviršiaus ploto ir tūrio skaičiavimą, pagrindines formules, vienetus, sprendimo žingsnius ir praktines užduotis. 📐

Paviršiaus plotas ir tūris – matematikos pamoka

I. Įvadas: Kodėl mums tai svarbu?

Kai kas pagalvos: „Kam man žinoti apie plotą ar tūrį, juk nesu nei statybininkas, nei architektas?“ Tačiau šios sąvokos atpažįstamos kiekvieno kasdienybėje. Įsivaizduokime paprastą situaciją – norime perdažyti namų tvorą arba užsėti daržą. Kaip žinosime, kiek dažų ar sėklų mums reikia? O kai mama kepa mielinę pyragą, kokio dydžio kepimo forma reikalinga? Čia ir praverčia matematiniai gebėjimai – mokėjimas apskaičiuoti paviršiaus plotą bei tūrį.

Pamokos tikslas – atskirti, kas yra plotas, o kas tūris, perprasti pagrindines formules, išmokti taikyti žinias tiek „popierinėse“ užduotyse, tiek realiose situacijose. Diegiant šias žinias remsimės kasdieniškais lietuviškais pavyzdžiais, o matematiką stengsimės pamatyti gyvuose daiktuose, o ne tik sausose lygtinėse.

II. Trumpai apie istoriją ir kontekstą

Ploto bei tūrio sampratos siekia tuos laikus, kai žmogus matavo žemės sklypus ar pylė grūdus į klėtis. Senovėje lietuviai, nors ir be brangios matavimo įrangos, nustatydavo, kiek sėmenų tilps aruode ar kiek reikės rąstų statinui. Tai – praktinis poreikis, gimęs iš gyvenimo, o ne iš vadovėlių. Plotas apibrėžia, kiek „dangaus“ uždengia plokščias paviršius (pvz., grindys), tūris – kiek vietos užima daiktas trimatėje erdvėje (pvz., kubilas vandens).

III. Esminės sąvokos ir vienetai

*Plotas* – dvimatės figūros „užimamas plotas“, matuojamas kvadratiniais vienetais: kvadratiniais centimetrais (cm²), metrais (m²). *Paviršiaus plotas* – visų trimačio objekto išorinių sienelių bendras plotas. *Tūris* – rodo, kiek vietos užima kūnas, matuojamas kubiniais vienetais: cm³, m³.

Kodėl reikia kvadratinių ar kubinių vienetų? Kad suprastume, kiek kartų matmuo daugiklinasi: ilgis (viena kryptis), plotas (dvi kryptys), tūris (trys kryptys). Griežtas vienetų laikymasis svarbus – negalima maišyti metro ir kvadratinio metro, kitaip atsakymas neturės prasmės.

IV. Kaip skaičiuoti plokštumos figūrų plotą

A. Paprasčiausios formos ir jų formulės

- Kvadratas: S = a² (a – kraštinė). Pavyzdys – pieštas tinklelis: kiek mažų kvadratėlių telpa į didesnį? - Stačiakampis: S = ilgis × plotis. Lakoniškas pavyzdys – kiek plytelių suklosime ant grindų? - Trikampis: S = ½ pagrindo × aukštinės. Jei trikampio pagrindą padauginsime iš aukštinės ir padalinsime perpus, gausime jo plotą. Status trikampis – S = ½ a × b (kojos kaip pagrindas ir aukštinė). - Lygiagretainis: S = pagrindas × aukštinė. - Trapecija: S = (a+b)/2 × h (a ir b – pagrindai, h – aukštinė). - Apskritimas: S = πr² (r – spindulys). π – maždaug 3,14; jei skaičiuojame apytiksliai, galima naudotis 3 arba 22/7.

B. Sudėtingesni atvejai – sudėtinių figūrų skaidymas

Jei figūra susideda iš kelių paprastų formų – tarkime, L raidės formos kambarys – jį verčiau suskaidyti į du stačiakampius, apskaičiuoti kiekvieno plotą ir sudėti rezultatus. Braižykite papildomas linijas, išryškinkite aukštines.

Pavyzdžiui, norint apskaičiuoti kiemo dalies su gėlynu plotą, tikslinga atskirti stačiakampius ir trikampius – jei reikia, net apkirpti papildomus plotus.

C. Kaip pasitikrinti atsakymą

Pagalvokite: ar jūsų skaičiuotas plotas logiškas? Pvz., jei grindų ilgis 5 m, o plotis 3 m, neturėtų būti 8 ar 30 m² – S = 15 m². Visada rašykite vienetus, jei duomenys pateikti skirtingais vienetais (pvz., cm ir m) – konvertuokite prieš skaičiuodami.

V. Paviršiaus plotas: kas tai ir kaip jį rasti?

A. Aiškinimas

Paviršiaus plotas – visų išorinių sienelių suminis plotis. Statytojui tai dažų kiekis, reikalingas nudažyti dėžę; pakuotojui – kiek kartono reikia pagaminti dėžei.

B. Išklotinės naudojimas

Išklotinė – tarsi dėžutės „išardymas“, kai visas sieneles išdėliojame kaip plokščias figūras. Pavyzdžiui, stačiakampio gretasienio išklotinė išsidėsto į šešis stačiakampius. Kiekvienos sienelės plotą apskaičiuojame atskirai ir sudedame.

C. Dažniausiai pasitaikančios formulės

- Stačiakampio gretasienio: S = 2(ab + ac + bc), kur a, b, c – matmenys. Kiekviena sienų pora kartojasi po du kartus. - Kubas: S = 6a². - Cilindras: S = 2πr(h + r). Čia sumuojamas šoninio paviršiaus ir dviejų pagrindų plotas. - Kūgis ar sfera: suformuluojama pažangesniam lygiui, bet užsimename apie šoninio paviršiaus ir pagrindo skirtumą.

VI. Tūrio apskaičiavimas

A. Esminės formulės ir jų logika

- Stačiakampio gretasienio: V = a × b × c. Tarsi sudėtume, kiek mažų kubelių telpa į dėžę. - Kubas: V = a³. - Cilindras: V = πr²h (pagrindo plotas × aukštis). - Kūgis, piramidė: V = ⅓ pagrindo plotas × aukštis. - Sfera: V = ⁴⁄₃ π r³ (į priekį pažengusiems).

B. Vienetų pasirinkimas ir konvertavimas

Visi duomenys turi būti vienodais vienetais. Jei pateikta cm ir m, konvertuokite į žemiausiąjį arba aukštesnįjį. Rezultatas visada bus kubiniais vienetais.

C. Praktinės problemos – pilstymas, pildymas

Tūris naudingas suprasti, kiek litrų tilps kibire, kiek grūdų sėsite į aruodą, ar kiek ledo reikia vestuviniam tortui, jei jis laikomas specialiame inde. Pvz., jei cisterna talpina 2 m³ – žinote, kad ten tilps 2000 litrų vandens (1 m³ = 1000 litrų).

VII. Kaip spręsti uždavinius? Paprastas metodinis planas

1. Perskaitykite uždavinį ir būtinai braižykite figūrą – net supaprastintą. 2. Pažymėkite visus dydžius (su vienetais!) ir nežinomus. 3. Nuspręskite: ar užtenka formulės, ar reikia skaidyti figūrą/išklotinės. 4. Pasirinkite tinkamą formulę (pagal figūrą). 5. Suskaičiuokite. Visada pasitikrinkite vienetus. 6. Parašykite atsakymą aiškiai, su vienetais ir paaiškinimu.

VIII. Dažnos klaidos ir kaip jų išvengti

- Maišomi ilgiai ir plotai (m vietoj m²). - Neužrašomas kvadratinis ar kubinis žymuo. - Trikampiuose painiojamas pagrindas su aukštine. - Paviršiaus plotuose neįskaitomi visi veidai, arba kartojami keli. - Patarimas: braižyti spalvomis arba skirtingomis linijomis skirtingas dalis, kad nesusipainiotumėte.

IX. Pamokos struktūra ir užsiėmimai

Pamoka galėtų būti tokia: - Pradžioje (10 min) aptariame, kur naudinga žinoti plotą/tūrį; - Toliau (20 min) – aiškinamės pagrindines formules ir užrašome pavyzdžius; - Praktinė dalis (20 min) – skaičiuojame poromis arba grupėse, braižome išklotines, dėliojame modelius; - Gale aptariame dažniausias klaidas, reflektuojame.

Aktyvumui sužadinti – siūlau pasigaminti modelius iš kartono, pabandyti išklijuoti dėžutę, paskaičiuoti, kiek kainuotų ją nudažyti ar pripildyti.

X. Vertinimas ir kontroliniai

Vertinkite ne tik atsakymo teisingumą, bet ir braižinio aiškumą, vienetų teisingą naudojimą, sprendimo žingsnius. Užduotis galima sudaryti įvairaus sunkumo: nuo elementariausių apskaičiavimų iki kūrybinių užduočių („Sukurk dėžę, kuri talpintų ne mažiau kaip 2 l pieno, bet būtų minimaliausio paviršiaus ploto“).

XI. Praktinės užduotys ir namų darbai

- Pradedančiam: apskaičiuok kvadrato plotą (krašinės ilgis 7 cm), dėžutės (3×5×4 cm) tūrį. - Vidutinis: surask, kiek plytelių reikės 3,5 × 5 m grindims (plytelės 0,5×0,5 m). - Sudėtingas: sukurk pakuotės eskizą pagal duotus matmenis, pamatuok, kiek kartono ir popieriaus reikėtų, kai dėžė turi būti valkiojama.

Patarimas: visada pradėkite nuo brėžinio ir pastovaus vienetų rašymo.

XII. Pavyzdžiai su trumpais sprendimo žingsniais

1. Kubas: kraštinės ilgis – 3 cm.

- S_pav = 6×3² = 54 cm²; - Tūris: V = 3³ = 27 cm³.

2. Stačiakampio gretasienis: a = 4 cm, b = 2 cm, c = 5 cm.

- Paviršiaus plotas: S = 2(4×2 + 4×5 + 2×5) = 2(8+20+10) = 2×38=76 cm²; - Tūris: V = 4×2×5 = 40 cm³.

3. Cilindras: r = 10 cm, h = 30 cm.

- Pagrindo plotas: πr² = 3,14×100 = 314 cm²; - Tūris: 314×30 = 9420 cm³ = 9,42 l.

XIII. Pasiruošimas testams

Praktikuokitės ranka, pasitikrinkite laiko valdymą. Skaitykite užduoties tekstą – iškart žinokite, ar reikia ploto, ar tūrio. Jeigu trūksta matmens ar atrodote, kad atsakymas per didelis/mažas – ieškokite klaidos.

XIV. Papildomi aspektai

Ploto skaičiavimas susijęs ir su kita veikla – fizikoje (tūris reikalingas tankiui), ekonomikoje (kiek kainuos dažai ar plytelės), ekologijoje (vertinant plastikinių pakuočių tūrį).

XV. Priemonės ir šaltiniai

Naudokitės liniuotėmis, skrituliais, kalkuliatoriumi, tinkliniu popieriumi. Daug mokyklų turi „GeoGebra“ ar panašias programas. Plačiau skaitykite mokyklinėse matematikos knygose, peržiūrėkite vaizdo pamokas, naudokite interaktyvius testus.

XVI. Išvados ir patarimai

Atminkite – sėkmės raktas yra aiškus brėžinys, teisinga formulė, kruopštus vienetų naudojimas ir gebėjimas skaidyti sudėtingą figūrą į paprastas. Nepamirškite: skaičiuodami visada rašykite vienetus, baigę patikrinkite, ar rezultatas logiškas.

---

Priedas: kontrolinės užduotys (gairės)

1. Apskaičiuok kvadrato plotą, kai a = 7 cm. *(7×7=49 cm²)* 2. Rask stačiakampio gretasienio tūrį, a=2 cm, b=3 cm, c=6 cm. *(2×3×6=36 cm³)* 3. Kiek plytelių (0,25 m²) reikės 10 m² grindų? *(10/0,25=40 vnt.)* 4. Kiek litrų telpa kibire, kurio tūris 0,012 m³? *(0,012×1000=12 l)* 5. Nubrėžkite išklotinę kubui (kraštinė 4 cm), suskaičiuokite paviršiaus plotą. *(6×16=96 cm²)* 6. Raskite apskritimo plotą, spindulys 5 cm. *[3,14×5²=78,5 cm²]* 7. Sugalvokite stačiakampio grindų (7 m × 4 m) plyteliavimo planą. 8. Sukurkite dėžutę, kuri tilptų į 1 dm³ ir turėtų kuo mažesnį paviršiaus plotą. 9. Skaičiuokite pilstymo užduotį: kiek 0,5 l butelių tilps į 10 l kibirą? *(10/0,5=20 vnt.)* 10. Trapecijos plotas: pagrindai 8 cm ir 4 cm, aukštinė 5 cm. *[(8+4)/2×5=30 cm²]*

Išplėstinė: Paruoskite išklotinę sudėtingai (pvz., L formos) dėžutei, apskaičiuokite paviršiaus plotą ir tūrį.

Vertinimo raktas: 1 taškas – teisinga formulė, 1 taškas – teisingi vienetai, 1 taškas – aiškus braižinys paaiškinant sprendimą.

---

Pastaba mokytojui: Daugiau dėmesio skirkite vizualizacijoms ir diskusijoms su klasės/namų aplinkos pavyzdžiais – taip mokiniai geriau įsimins skirtumus tarp ploto, paviršiaus ploto ir tūrio bei išsiugdys gebėjimą taikyti žinias už mokyklos ribų.

Pavyzdiniai klausimai

Atsakymus parengė mūsų mokytojas

Kokios pagrindinės paviršiaus ploto ir tūrio formulės?

Paviršiaus plotui taikomos tokios formulės: stačiakampio gretasienio S=2(ab+ac+bc), kubo S=6a². Tūriui: stačiakampio gretasienio V=a×b×c, kubo V=a³, cilindro V=πr²h.

Kaip kasdienybėje pritaikyti paviršiaus ploto ir tūrio žinias?

Paviršiaus plotas padeda apskaičiuoti, kiek reikia dažų, plytelių ar popieriaus, o tūris nurodo, kiek telpa kibire ar indo talpoje.

Kaip apskaičiuoti sudėtingos formos paviršiaus plotą ar tūrį?

Sudėtingą figūrą reikia suskaidyti į paprastesnes dalis, apskaičiuoti kiekvienos plotą ar tūrį atskirai ir sudėti rezultatus.

Kokios dažniausios klaidos skaičiuojant paviršiaus plotą ir tūrį mokykloje?

Dažniausios klaidos – painiojami vienetai (m, m², m³), nesumaišomos formulės, nepastebimos visos paviršiaus dėžės sienelės ar neskaičiuojamas vienetų suderinamumas.

Kuo skiriasi paviršiaus plotas ir tūris mokiniui suprantamai?

Paviršiaus plotas rodo, kiek ploto turi visos išorinės paviršiaus dalys, o tūris parodo, kiek erdvės užima daiktas viduje.

Parašyk už mane referatą

Tagi:#paviršiausplotas #tūris #formulės