Tikimybių skaičiavimas: formulės, galimybių medis ir lentelės

Šį darbą patikrino mūsų mokytojas: 21.01.2026 time_at 18:20

Užduoties tipas: Rašinys

Pridėta: 19.01.2026 time_at 12:04

Santrauka:

Sužinok, kaip skaičiuoti tikimybes naudojant formules, galimybių medį ir lenteles. Išmok spręsti įvairias matematikos užduotis aiškiai ir tiksliai.

Kaip skaičiuoti tikimybes bei galimybes naudojant formules, galimybių medį ir lenteles? – Matematikos pamoka

ĮVADAS

Tikimybės teorija – viena iš įtakingiausių matematikos sričių, apimanti viską, kas susiję su atsitiktiniais įvykiais. Jei dar prieš kelis šimtmečius gyventume pagal atsitiktinių įvykių mitus, šiandien statistikos ir tikimybės teorijos įgūdžiai mums kasdien padeda priimti pagrįstus sprendimus. Nesvarbu, ar bandome suprasti savo šansus laimėti nacionalinėje loterijoje, ar analizuojame, kiek tikėtina laimėti kortų žaidimą su draugais, ar skaičiuojame rizikas, susijusias su draudimu – visada pasikliaujame tikimybių dėsningumais.

Lietuvos švietimo sistema didelį dėmesį skyrė tikimybių teorijos pritaikymams jau nuo XX amžiaus antrosios pusės. Šiuolaikinėse matematikos pamokose tikimybės ir kombinatorika tapo privaloma tema, ruošianti mokinius iššūkiams, su kuriais susidurs tiek kasdieniame gyvenime, tiek mokslinėse ar medicinos studijose, tiek, pavyzdžiui, informacinių technologijų srityje. Tad šioje esė išsamiai aptarsiu, kaip skaičiuoti tiek tikimybes, tiek galimybes, pasitelkiant tris skirtingus įrankius: matematinę formulę, galimybių lenteles ir galimybių medį. Visus šiuos metodus iliustruosiu konkrečiais pavyzdžiais, artimais Lietuvos kontekstui.

---

PAGRINDINĖS SĄVOKOS IR TERMINAI

Tikimybė: ką ji reiškia?

Tikimybė – tai skaičius, apibūdinantis, kaip dažnai tikimės, kad tam tikras įvykis įvyks. Ji visada išreiškiama nuo 0 iki 1. Jei tikimybė lygi nuliui, toks įvykis laikomas neįmanomu (pavyzdžiui, ištraukti iš maišelio geltoną karoliuką, jei jų ten nėra). Jei tikimybė lygi vienetui – įvykis yra būtinas (pavyzdžiui, išsitraukti raidę iš lietuviškos abėcėlės maišelio – raidžių tikrai yra). Visi kiti įvykiai, kurių tikimybė yra tarp 0 ir 1, laikomi atsitiktiniais.

Mokiniai dažnai sutinka ir prieštaringų įvykių sąvoką. Tai yra įvykiai, kurie negali įvykti vienu metu (pavyzdžiui, vienu kauliuko metimu gauti „3“ ir tuo pačiu – „5“ neįmanoma). Visi galimi (prieštaringi) įvykiai sudaro pilną baigčių aibę, o jų tikimybių suma visuomet yra 1.

Galimybės ir kombinatorika

Galimybė šioje temoje dažniausiai reiškia skirtingų pasirinkimų ar įvykių variantų skaičių. Skaičiuojant galimybes dažnai naudojami faktorialai (žymimi kaip „!“), deriniai (kombinacijos) ir kėliniai (permutacijos). Faktorialas – tai visų mažesnių ar lygių skaičių sandauga, pavyzdžiui, 5! = 5×4×3×2×1 = 120.

Kėliniai naudojami tada, kai svarbi pasirinkimų eilė (pvz., statant įvairių knygų seką lentynoje), o deriniai – kai pasirinkimų eilė nesvarbi (pvz., išsirenkant kelias šokolado rūšis dovanų rinkiniui). Šios sąvokos būtinos norint apskaičiuoti galimų baigčių skaičių įvairiose užduotyse.

---

TIKIMYBIŲ SKAIČIAVIMAS FORMULĖMIS

Pagrindinė tikimybės formulė

Paprasčiausias būdas apskaičiuoti tikimybę P(A) – padalyti palankių baigčių skaičių (m) iš visų galimų baigčių skaičiaus (n):

P(A) = m / n

Pavyzdžiui, jeigu metate šešių sienelių kauliuką, tikimybė gauti „2“ iš vieno metimo: palanki baigtis – viena („2“), visos galimos baigtys – šešios (1, 2, 3, 4, 5 arba 6), tad P(A) = 1/6.

Tą patį pritaikę monetos metimui, gauname dvi galimas baigtis: „herbas“ ir „skaičius“. Kiekvieno jų tikimybė bus P = 1/2.

Sudėtingesnių įvykių atvejai

Kai vienu metu kalbame apie kelias sąlygas, tenka naudoti papildomas taisykles:

- Sąjunga (kad įvyktų bent vienas iš dviejų įvykių A ar B): P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) (jei įvykiai susikerta).

- Sankirta (kad įvyktų abu įvykiai): Jei A ir B nepriklausomi, P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

Pavyzdys: Ant stalo guli 3 raudoni ir 2 žali saldainiai. Iš eilės ištraukiami 2 saldainiai, nepataisę. Kokia tikimybė, kad abu saldainiai bus raudoni?

Pirmajam ištraukimui yra 3 raudoni iš 5 (P1 = 3/5), antrajam liko 2 raudoni iš 4 (P2 = 2/4):

P = 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10

---

GALIMYBIŲ LENTELĖ

Kas yra galimybių lentelė?

Galimybių lentelė – tai tvarkinga visų galimų įvykių baigčių išklotinė, kurią galima matyti vienoje vietoje. Ji leidžia lengvai įžiūrėti visus derinius ir suskaičiuoti, kiek tiksliai yra palankių atvejų, kurių ieškome.

Kaip sudaryti lentelę?

Veiksmai: 1. Susirašome visas galimas baigtis. 2. Lentelėje paeiliui dėstome skirtingus variantus pagal kriterijus. 3. Pažymime palankias baigtis.

Pavyzdys: dviejų kauliukų metimas:

| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |------|----|----|----|----|----|----| | 1|2 |3 |4 |5 |6 |7 | | 2|3 |4 |5 |6 |7 |8 | | 3|4 |5 |6 |7 |8 |9 | | 4|5 |6 |7 |8 |9 |10 | | 5|6 |7 |8 |9 |10 |11 | | 6|7 |8 |9 |10 |11 |12 |

Kiekvienas įrašas reiškia galimą dviejų kauliukų sumą. Jeigu norėtume rasti tikimybę, kad suma bus 7, tiesiog suskaičiuojame, keliose langeliuose yra „7“. Matome, kad tokių atvejų yra 6. Iš viso galimų porų – 36 (6×6). Taigi, tikimybė gauti sumą 7 – 6/36 = 1/6.

Kada galimybių lentelė nėra naudinga?

Didėjant įvykių skaičiui, lentelė gali pernelyg išsiplėsti ir tapti nepraktiška (pavyzdžiui, jei deriname keturias monetas ar tris kauliukus). Tokiais atvejais geriau pasitelkti kitus metodus.

---

GALIMYBIŲ MEDIS

Kas yra galimybių medis?

Galimybių medis yra grafinis būdas schematiškai atvaizduoti visas galimas įvykių sekas, ypač kai įvykiai eina vienas po kito ir (ar) priklauso vieni nuo kitų. Medžio šakos rodo atskirų įvykių variantus, o perėję nuo šaknies iki šakos galo, matome visą baigčių seką.

Kaip sudaryti galimybių medį?

1. Pradžia: nupiešiame pradžios tašką. 2. Pirmas šakų lygis: atvaizduojame pirmo įvykio visas galimas baigtis. 3. Tolimesni lygiai: prie kiekvienos šakos pridedame papildomų šakų pagal antrojo, trečiojo ir t.t. įvykių baigtis. 4. Prie kiekvienos šakos žymime tikimybę.

Pavyzdys: dviejų monetų metimas

- Pirmo metimo baigtys: H (Herbas), S (Skaičius) - Kiekvienai iš jų – vėl H arba S - Iš viso: keturios galutinės šakos – HH, HS, SH, SS

Jeigu norime rasti tikimybę, kad gausime tik vieną „Herbą“, suskaičiuojame, kiek šakų tą atitinka (HS, SH), jų yra 2 iš 4, tad tikimybė – 1/2.

Kada medis labiausiai tinka?

Kai įvykių eiga priklauso nuo ankstesnių žingsnių (pavyzdžiui, traukiant rutuliukus be gražinimo ar su sąlyginėmis tikimybėmis). Medis padeda nepraleisti galimų kelių ir aiškiai matyti visą eigą.

Trūkumai

Didėjant įvykių ar variantų skaičiui, medis tampa labai didelis ir sunkiai įskaitomas. Tokiu atveju reikia grįžti prie formulės ar lentelės.

---

PRAKTINIAI PATARIMAI

- Aiškiai įvardinkite visus įvykių variantus bei palankias baigtis, nes neteisingai įvertinus pradinius duomenis, kiti skaičiavimai bus beverčiai. - Rinkitės tinkamą metodą: kai įvykiai paprasti – užtenka formulės; kai sprendžiama seka – idealus medis; kai baigčių ne tiek ir daug – lentelė leidžia matyti viską iškart. - Praktikuokitės realiuose kasdieniuose pavyzdžiuose – ištraukite kortą iš lietuviško kortų kaladės, meskite kauliuką, žaiskite domino ar šachmatais ir pasvarstykite tikimybes. - Patikrinkite atsakymą dviem ar net trim būdais: rezultatas turėtų sutapti, nesvarbu, kokį būdą pasirinksite.

---

IŠVADOS

Tikėtina, kad įvaldęs tikimybių teorijos pagrindus, tapsi geresniu problemų sprendėju ne tik mokykloje, bet ir realiame gyvenime: sugebėsi objektyviau įvertinti riziką, atsirinkti efektyvius sprendimo būdus. Formulės, lentelės ir galimybių medis – tai trys universalūs įrankiai, leidžiantys ne tik apskaičiuoti, bet ir geriau suvokti atsitiktinių įvykių logiką.

Naudodamasis visais trimis įrankiais, išsiugdysi tvirtą nuojautą ir teorinius pagrindus, kurie pravers tiek matematikos egzamine, tiek būsimame darbe ar kasdienėse situacijose. Svarbiausia – nebijoti klausti, klaidų mokytis ir taikyti šiuos metodus kuo platesniame uždavinių spektre: nuo paprasčiausių žaidimų iki sudėtingų realios statistikos problemų.

---

PAPILDOMA DALIS

Trumpi pavyzdžiai:

1. *Formulė:* Kokia tikimybė traukiant atsitiktinį skaičių iš 1–20 gauti lyginį skaičių? Palankių (lyginių) yra 10, visų – 20. Ats.: 10/20 = 0,5

2. *Lentelė:* Jei du žmonės nepriklausomai renkasi po vieną iš trijų tipų desertų (ledų, pyrago ar šakočio), kiek skirtingų porų pasirinkimų gali būti? Sudarius lentelę, matome 3×3 = 9 galimybes.

3. *Galimybių medis:* Kaip atrodo medis, kai iš maišelio ištraukiamas mėlynas arba raudonas karoliukas du kartus be gražinimo?

---

Svarbūs simboliai: - P(A) – įvykio A tikimybė - ∪ – sąjunga - ∩ – sankirta - ! – faktorialas - C(n, k) – derinių skaičius

Literatūra: - Lietuviški matematikos vadovėliai: „Matematika 11–12 klasėms: Kombinatorika ir tikimybės“ (aut. Onutė Grigonienė) - „Matematika Tau+“ serijos uždavinių rinkiniai

---

Taigi, tikimybių ir galimybių samprata – ne sausas teorinis konstruktas, o iš tiesų labai praktiškas įrankis, padedantis tvarkytis su pasaulio netikėtumais. Svarbiausia – nebūti abejingam, nuolat treniruotis ir nesibaiminti sudėtingesnių uždavinių, nes nuosekliai gilindamiesi atrasite ir šios matematikos srities grožį.

Pavyzdiniai klausimai

Atsakymus parengė mūsų mokytojas

Kaip taikyti tikimybių skaičiavimo formules matematikos namų darbuose?

Tikimybės formulė taikoma padalijant palankių baigčių skaičių iš visų galimų baigčių skaičiaus, kad apskaičiuotumėte įvykio tikimybę.

Ką reiškia galimybių medis tikimybių skaičiavime?

Galimybių medis vaizduoja visus įvykių variantus schemoje, padėdamas lengvai suprasti ir suskaičiuoti galimus rezultatus.

Kam naudojamos galimybių lentelės skaičiuojant tikimybes?

Galimybių lentelės naudojamos išdėstyti ir suskaičiuoti visas galimas baigtis, kad lengvai išrinktumėte palankias situacijas.

Kuo skiriasi deriniai ir kėliniai tikimybių skaičiavime matematikos pamokoje?

Kėliniai taikomi, kai svarbi eiliškumo tvarka, o deriniai – kai eiliškumas nesvarbus, skaičiuojant galimų variantų kiekį.

Kokia pagrindinė tikimybės sąvoka pagal straipsnį "Tikimybių skaičiavimas: formulės, galimybių medis ir lentelės"?

Tikimybė yra skaičius nuo 0 iki 1, rodantis, kaip dažnai tikėtina, kad tam tikras įvykis įvyks atsitiktiniu bandymu.

Parašyk už mane rašinį

Tagi:#matematika #tikimybes #namudarbai