Trupmeninės lygtis: sprendimas judėjimo ir darbo uždavinių
Šį darbą patikrino mūsų mokytojas: 24.01.2026 time_at 4:27
Užduoties tipas: Analizė
Pridėta: 17.01.2026 time_at 18:41
Santrauka:
Išmokite spręsti trupmenines lygtis judėjimo ir darbo uždaviniuose: žingsniai nuo modelio sudarymo iki sprendimo, vienetų patikra, praktiniai pavyzdžiai.
Judėjimo ir darbo uždaviniai: sprendimas sudarant trupmenines lygtis — matematikos pamoka
Įvadas
Matematiniai judėjimo ir darbo uždaviniai – viena iš tų temų, kurias dažnai tenka nagrinėti matematikos pamokose. Tačiau šie uždaviniai nėra tik teoriškai svarbūs – jų modeliavimas ir sprendimo įgūdžiai yra itin pritaikomi kasdieniniame gyvenime: planuojant keliones, organizuojant komandinį darbą, analizuojant transporto sistemas ar netgi atliekant remonto darbus namuose. Kiekvienąsyk, kai aiškinamės, per kiek laiko pasieksime draugą kitame mieste, ar spėsime laiku atlikti užduotį dirbdami drauge, pasitelkiame judėjimo bei darbo matematinius modelius.Tam, kad šiuos gyvenimiškus klausimus gebėtume spręsti tiksliai ir užtikrintai, reikia mokėti paprastus tekstinius uždavinius paversti į trupmenines lygtis – žinoti, kokius dydžius reikėtų pažymėti kaip nežinomus, mokėti rašyti pagrindines lygtis ir gebėti patikrinti gauto atsakymo logiškumą. Būtent tokias kompetencijas ugdome matematikos pamokose. Pamokos tikslas: išmokti versti judėjimo ir darbo uždavinius į trupmenines lygtis, jas išspręsti bei suprasti rezultato prasmę, taikant kruopščią ir metodišką analizę.
---
Pagrindinės sąvokos ir jų ryšiai
Sprendžiant judėjimo uždavinius, pirmiausia reikia suprasti kelias pagrindines sąvokas.Greitis (žymimas v) – tai dydis, nusakantis, kiek kelio objektas įveikia per vienetą laiko. Paprastai Lietuvoje greitis matuojamas kilometrais per valandą (km/h) arba metrais per sekundę (m/s). Svarbu visada užrašyti vienetus, nes neteisingai konvertavus vienetus dažnos klaidos.
Kelias (s) – įveiktas atstumas, dažniausiai matuojamas kilometrais (km) arba metrais (m).
Laikas (t) – laiko intervalas, per kurį objektas nuvyksta tam tikrą kelią. Žymimas „t“ ir matuojamas valandomis (h), minutėmis (min), sekundėmis (s).
Šie trys dydžiai tarpusavyje siejami pagrindinėmis formulėmis, kurios dažnai naudojamos sprendžiant uždavinius:
- Laikas: t = s / v - Kelias: s = v × t - Greitis: v = s / t
Atliekant skaičiavimus, ypač svarbus vienetų konvertavimas: - Iš km/h į m/s: dauginame iš 5/18 (pvz., 72 km/h × 5/18 = 20 m/s). - Minutės į valandas: daliname iš 60 (pvz., 90 min ÷ 60 = 1,5 h). - Sekundės į valandas: daliname iš 3600 (pvz., 7200 s ÷ 3600 = 2 h).
Kartais tenka nagrinėti ir santykinį greitį. Jei du objektai juda vienas kitam priešais, jų greičiai sudedami (v1 + v2); jei ta pačia kryptimi – atimami (v2 − v1).
---
Tekstinių uždavinių modeliavimas žingsnis po žingsnio
Sprendžiant realius tekstinius uždavinius, svarbu turėti aiškų veiksmų planą:1. Perskaitykite uždavinį kelis kartus, atkreipdami dėmesį į raktažodžius („susitinka“, „pasiveja“, „kartu“). 2. Nuspręskite, ką reikia rasti – pažymėkite nežinomą dydį (dažniausiai t arba v). 3. Pasirinkite kintamuosius: pažymėkite visus objektų parametrus (tarkime, dviračio greitis – v1, kito – v2, t.t.). 4. Aiškiai pasirašykite, ką reiškia kiekvienas simbolis. 5. Užrašykite matematinius ryšius pagal sąlygas (naudokite t = s/v, s = v×t etc.). 6. Modeliuokite tekstą į trupmeninę lygtį – dažnai lygybę reikia išreikšti per laiką arba per nuvažiuotą kelią. 7. Patikrinkite vienetus prieš spręsdami lygtį, supaprastinkite trupmenines lygtis (iškelkite MBV). 8. Interpretuokite sprendinį, įsitikinkite, kad fizinė reikšmė atitinka uždavinio logiką (pvz., laikas negali būti neigiamas).
Praktinis patarimas: visada geometriškai pavaizduokite situaciją – nubraižykite schemą su taškais, rodyklėmis, pažymėkite atstumus. Tai padeda išvengti painiavos, ypač kai kelias turi kelis segmentus ar keletą objektų juda skirtingomis kryptimis.
---
Judėjimo uždavinių tipai ir jų modeliavimas
Susitikimo uždaviniai. Jei du objektai juda vienas kito link, jų judėjimo laikai (iki susitikimo) vienodi, tačiau greičių santykis lemia, kur ir kada susitiks. Dažnai naudojama formulė: `s = (v1 + v2) × t` arba kiekvienam atskirai – laikas iki susitikimo: t = s / (v1 + v2).Pasivejimo uždaviniai. Objektas A startuoja pirmas, objektas B vėliau, bet su didesniu greičiu. Pasivejimo laikas: Pradinio atstumo skirtumas = greičių skirtumo dalis per laiką: (v2 − v1) × t = atstumo skirtumas.
Judėjimas priešinga kryptimi. Bendrai nueitas kelias iki susitikimo lygu pradinis atstumas; greičiai sudedami.
Kelionės ta pačia kryptimi. Svarbu ne kiek nueita bendrai, o skirtumas – dažnai reikia analizuoti atstumų skirtumą per laiką.
Kelionė pirmyn ir atgal. Jei greičiai skirtingi į priekį ir atgal (pvz., vėjas ar kelio nuolydis), kiekvienam segmentui reikia užrašyti atskirą laiką ir sudėti.
Srovės uždaviniai. Vandens srovė veikia laivo judėjimą: greitis „su srove“ – v_laivas + v_srovė, „prieš srovę“ – v_laivas − v_srovė.
Bendra taisyklė: jei užduotyje yra keli judėjimo etapais, kiekvienam etapui reikia sukurti atskirą lygtį.
---
Darbo uždaviniai: tempa ir bendradarbiavimas
Darbo uždaviniai (angl. rate problems) dažnai modeliuojami per lygybes, kuriose nagrinėjama dalis darbo, atliktos per laiką.Jei vienas darbininkas atliktų darbą per T1 valandas, jo sparta – 1/T1 (dalis darbo per valandą). Jei dirba dviese, jų spartos sumuojamos: `1/T = 1/T1 + 1/T2` – gaunama bendra darbo trukmė.
Analogiškai vamzdžių uždaviniams: jei vienas vamzdis užpildo per T1, o kitas ištuština per T2, galutinė sparta: `1/T = 1/T1 – 1/T2`.
Svarbu pažymėti, ką laikome visu darbu (dažnai žymime kaip 1), o laikas yra nežinomasis, kurį randame iš gautos trupmeninės lygties.
---
Trupmeninių lygčių sprendimas: pagrindiniai žingsniai
Trupmenines lygtis racionaliausia spręsti šiais etapais:1. Suraskite visų vardiklių MBV (mažiausią bendrą daugiklį). 2. Padauginkite visą lygtį iš MBV, kad būtų panaikintos trupmenos. 3. Supaprastinkite gautą lygtį, surinkite panašius narius, išspręskite likusią paprastą (dažniausiai linijinę) lygtį. 4. Patikrinkite, ar sprendinys neprieštarauja uždaviniui (ar nereikėtų atmesti sprendinio dėl neigiamų reikšmių arba dalybos iš nulio).
Pagrindinės klaidos: neteisingas ženklų naudojimas (ypač jei vienas objektas juda priešinga kryptimi ar užpildo/ištuština), MBV pamiršimas ar klaidingas taikymas, neatliktas vienetų patikrinimas.
---
Konkrečių judėjimo ir darbo uždavinių pavyzdžiai
Pavyzdys A (susitikimas)
Uždavinys: Du dviratininkai išvyksta iš skirtingų taškų, atstumas tarp jų 30 km, greičiai – 8 km/h ir 12 km/h. Kada jie susitiks?Sprendimas: - Abu juda vienas kitam priešais, jų bendras greitis: 8 + 12 = 20 km/h. - Laikas iki susitikimo: t = 30 / 20 = 1,5 h.
Patarimas: Tokiuose uždaviniuose naudokite laiko ir greičio santykį, patikrinkite vienetus.
Pavyzdys B (pasivejimas)
Uždavinys: A yra 2 km priekyje, A eina 4 km/h, B – 6 km/h. Po kiek laiko B pasivys A?Sprendimas: - Greičių skirtumas: 6 – 4 = 2 km/h. - Reikia nueiti 2 km: t = 2 / 2 = 1 h.
Patikrinimas: Ar per valandą B tikrai pavys? A per valandą nueina 4 km, B – 6 km. Skirtumas po valandos – 6 – 4 = 2 km, lygiai A pradinis pranašumas.
Pavyzdys C (darbininkų uždavinys)
Uždavinys: Vamzdis baseiną pripildo per 6 val., kitas per 9 val. ištuština. Abu atidarius, per kiek laiko užsipildys baseinas?Sprendimas: - Užpildymo sparta: 1/6 – 1/9 = 1/18 baseino per valandą. - Užsipildys per T = 18 val.
Patarimas: Nepamirškite atimti ištuštinimo spartą!
Pavyzdys D (laivo greitis ir srovė)
Uždavinys: Laivas su srove 30 km nuplaukia per 2 h, prieš srovę – per 5 h. Raskite laivo ir srovės greičius.Sprendimas: - Su srove: v_laivas + v_srovė = 30 / 2 = 15 km/h. - Prieš srovę: v_laivas − v_srovė = 30 / 5 = 6 km/h. - Sudedame ir atimame: 2v_laivas = 21 ⇒ v_laivas = 10,5 km/h; v_srovė = 4,5 km/h.
Patarimas: Susirašykite abi lygčių sistemas, tada spręskite.
---
Klaidų diagnostika ir prevencija
- Painiava dėl vienetų: Dažna klaida – painiojamos minutės su valandomis. Sprendimas: prieš sudarant lygtį užrašyti visus dydžius tais pačiais vienetais. - Netikslus tekstas: Nepastebėtas raktažodis arba kintamoji sąlyga (pvz., „visi kartu“). Sprendimas: perrašyti uždavinio sąlygą savais žodžiais. - Algebra: Netinkamai surastas MBV, pamirštas ženklas. Sprendimas: tvarkingai rašyti kiekvieną žingsnį, pasitikrinti su kitais grupės nariais. - Fizinės prasmės neatitikimas: Neigiamas laikas arba greitis dažniausiai reiškia, kad klaidingai surašyti ženklai. Sprendimas: įsižiūrėti, ar neturėjo būti naudotas priešingas ženklas, o gal palikta neišsiaiškinta sąlyga.---
Praktinės veiklos ir interaktyvumas pamokoje
- Porų varžybos: kuri komanda greičiau iš sudėto teksto užrašo trupmeninę lygtį. - Praktinė laboratorija: matuojame klasėje atstumą, laukiame, matome laiką, skaičiuojame greitį. - Kortelių žaidimai: viena kortelė — tekstinis uždavinys, antra — schema, trečia — lygtis; mokiniai ieško tinkamų porų. - Skaitmeniniai įrankiai: GeoGebra ar skaičiuoklės, kad galima būtų vizualizuoti laiko ir kelio pokyčius. - Grupinės užduotys: susikurti savo judėjimo ar darbo uždavinį ir "išmainyti" sprendimui kitai grupei.---
Vertinimo ir pratybų sistema
Mokinių pasiekimai gali būti vertinami įvairiais lygiais:- Pagrindinis lygis: Uždaviniai su vienu kintamuoju, tiesioginės formulės. - Vidutinis lygis: Sudėtingesni susitikimų ir pasivejimo uždaviniai, segmentuoti judesiai. - Išplėstinis lygis: Darbo uždaviniai su keliais veikėjais, srovės uždaviniai, vamzdžiai su nuotėkiu.
Vertinimo rubrika: - Modelio sudarymas – 40% - Sprendimo atlikimas – 30% - Vienetų tvarkingumas, patikra – 20% - Aiškus atsakymo paaiškinimas – 10%.
---
Išplėstinės temos ir ryšys su kitais dalykais
Pamokoje galima aptarti ir pažangesnius dalykus – netolygų judėjimą (pagreitį, jėgas), statistinį duomenų apdorojimą (pvz., bėgimo laiko vidurkį ir jo paklaidą), algoritminį sprendimą (koordinatorių rašymas informatikos pamokose). Realūs pritaikymai apima logistiką, eismo planavimą, inžinerinį modeliavimą.---
Namų darbų idėjos ir papildoma praktika
- Pratybų užduotys su sprendimais savikontrolei. - Kūrybiniai darbai – sukurti savo uždavinį, išnagrinėti keliais sprendimo būdais. - Naudojimasis skaitmeninėmis mokymo platformomis (pvz., „matematikos lavinimo svetainės“).---
Santrauka
Judėjimo ir darbo uždaviniai – ne tik praktinis matematikos žinių pritaikymas, bet ir puiki terpė lavinti loginį mąstymą, gebėjimą modeliuoti gyvenimiškes situacijas matematiniais ženklais. Svarbiausios išmoktos formulės: s = v × t, t = s / v, darbo sparta — dalis darbo per laiko vienetą. Dažniausi spąstai: painiojami vienetai, netinkamai užrašomos sąlygos, pamirštama patikrinti atsakymų fizinė prasmė. Mokinys turi gebėti: - Atskirti, kokio tipo uždavinys pateiktas; - Parinkti kintamuosius ir vienetus; - Sudaryti trupmeninę lygtį; - Išspręsti ir interpretuoti atsakymą gyvenimiškame kontekste.---
Papildomi įrankiai
Kontrolinis sąrašas prieš pateikiant sprendimą: 1. Ar visi vienetai sutampa? 2. Ar visi dydžiai užrašyti aiškiai ir nuosekliai? 3. Ar lygtis sudaryta logiškai? 4. Ar sprendimas nepažeidžia fizinių dėsnių (laikas, greitis teigiami)? 5. Ar atliktas atsakymo patikrinimas (skaičiavimas atgal)?Dokumentas su pagrindinėmis formulėmis ir mini testas – labai pravartus prieš kontrolinį ar savarankišką darbą.
---
Baigiamasis žodis: Šis gebėjimų rinkinys ateityje pravers ne tik per egzaminus ar olimpiadas, bet ir kasdienybėje sprendžiant realius uždavinius, kuriuose svarbus greitis, laikas, darbas ir bendradarbiavimo rezultatai. Tobulindami gebėjimą tiksliai modeliuoti ir aiškiai spręsti uždavinius, kuriame pagrindą kitoms tiksliųjų mokslų sritims ir išmokstame savarankiškai mąstyti.
Įvertinkite:
Prisijunkite, kad galėtumėte įvertinti darbą.
Prisijungti